自然科學與數學的距離

　　讓我們用一道選擇題，當作本文的切入點。請問下列敘述何者為真？
A.圖靈是人工智慧之父
B.圖靈本人並非人工智慧
C.數學是自然科學之母
D.數學本身並非自然科學
E.以上皆是
　　如果你一時拿不定主意，不妨先看看下面的分析，再選出心中的正確答案。

一、自然科學的研究對象存在於自然界，數學則否
　　早在兩千多年前，數學就經歷了一次脫胎換骨的過程，將研究對象從看得見摸得到的東西，如牛羊和土地，逐步抽象為看不見摸不到的概念。舉例而言，一隻雞、兩隻鴨、三隻鵝和1、2、3就有本質上的差異，前者具體，後者抽象。數學公式也是同樣的道理，例如1+2=3能描述無數的實際情況，而a+b=c適用性更廣，這就是抽象化的威力。
　　幾何形體也應作如是觀，比方說，數學家定義的「圓」是一種完美無瑕的結構，至於真實世界的圓形，無論太陽、滿月或車輪都各有各的瑕疵。雖然奈米科學家已經能將原子排成一圈，但在數學家眼中，這樣的圓圈仍和一串念珠相差無幾。

二、數學成果可以證明不能推翻，自然科學剛好相反
　　自然科學或多或少會使用歸納法，然而研究對象無窮無盡，任何結論都不可能一一驗證毫無遺漏，因此它們都是（若干時日後）有可能被推翻的定律。反之，數學的重要成果皆來自演繹，一旦導出或得證便永遠成立。即使有人用無懈可擊的方法推導出1+1=10，也並未否定1+1=2，他只是改用二進位罷了。

三、自然科學的成果皆為發現，數學則接近發明
　　自然科學研究的是既存事物或規律，任何成果都不算無中生有，所以當然屬於發現。至於數學公式或定理，既然基本元素全是抽象概念，廣義來說無一不是心智運作的產物。你可以發明1+1=2，他可以發明1+1=10，而圖靈則可以發明1+1=11（想想這是幾進位？）。

四、數學可以任意推廣，自然科學則有限制
　　推廣既有成果是數學家的天性，例如從平面幾何推廣到球面幾何乃至立體幾何，都是古希臘數學家的輝煌成就。後起之秀則更上Ｎ層樓，繼續用想像力開發更高維度的空間，獲得相當豐碩的成果。這些空間和真實世界沒有直接關係，甚至間接關係也不存在，其學術價值卻受到一致肯定，不會有數學家質疑實用與否。

五、數學基礎與自然科學基本精神頗有出入
　　演繹科學必須建立在堅實根基上，否則無異於沙上城堡。因此，早在歐幾里得的時代，數學便走上一條特立獨行的公理化之路。縱使公理一律具有不證自明的特色，「所有的直角彼此相等」便是典型的例子，但公理化的基本精神除了不證自明，還有不容置疑，這在一般人看來就有違科學精神了。
　　不過，就自然科學觀點而言，數學基礎中最離經叛道的並非公理，而是所謂的「無定義名詞」。這些名詞被剝奪了擁有明確定義的資格，但它們所代表的概念起碼符合你我的直覺經驗。這麼說雖然有點玄，事實上，無定義名詞的實例並不罕見，幾何學的點和直線都是這個家族的成員。至於為何要弄得如此神秘，數學家當然有不得以的苦衷。倘若不以無定義名詞當作人為的出發點，一定會有人發揮追根究柢的精神，沒完沒了一路追問下去，那麼數學的根基注定成為無底洞，怎麼也找不到著力之處。

　　真理越辯越明，現在，正確答案是不是呼之欲出？

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